Теория движения

Физика движения в ралли

Детальный разбор, казалось бы, неподъемной задачи. 

 

Мы неоднократно подчеркивали, что физически рассчитать модель движения раллийного автомобиля на чем-то отличном от асфальта крайне трудно. Внезапно за эту сложнейшую задачу взялся Дэнни Нулэн (Danny Nowlan), основатель фирмы ChassisSim, которая предоставляет услуги по физическому моделированию движения автомобиля (плюс телеметрия и все такое). С любезного разрешения Дэнни Нулэна, мы можем переводить его работы, и просто не могли пройти мимо этой.

 Итак, физика движения раллийного автомобиля. Версия 1.0. Переводит – Антон Татьянченко.

 Последние два месяца всё моё внимание было приковано к адаптации «ChassisSim» для нужд чемпионата мира по ралли (WRC). С асфальтом всё прошло гладко, но по-настоящему трудной задачей стало приспособить этот симулятор к работе на грунте и льду. Эта работа оказалась одновременно и сложной, и невероятно познавательной. Главная трудность заключалась в том, чтобы понять, почему шину необходимо заводить далеко за грань потери сцепления, и разобраться, как там добиться стабильности. Именно об этом мы и поговорим.

 Сразу оговорюсь: я не претендую на звание эксперта в этой области. Честно говоря, сейчас я пишу эту статью скорее для самого себя, чтобы разложить кое-что по полочкам в собственной голове. Тем не менее в процессе я узнал много нового, так что если вы связаны с ралли или вам просто интересно, что происходит с автомобилем, когда он едет в скольжении - читайте дальше. Надеюсь, каждый из нас сможет извлечь из этого что-то полезное.

 Теперь главный вопрос: зачем вообще в ралли нужно пускать машину в занос? Для всех нас, кто имел дело с шоссейно-кольцевыми гонками, это смертный грех. Выглядит невероятно эффектно, но, когда речь идёт о гонках на твёрдом покрытие, все мы знаем - это гарантированный способ потерять скорость. Ответ на этот вопрос кроется в поведении шины.

 Причина, по которой на грунте и льду машину нужно ставить боком, сводится к характеристикам скольжения шин. Чтобы наглядно это продемонстрировать, обратимся к графику. Ниже показана типовая зависимость боковой силы от угла увода для шоссейной гоночной шины.

 

Рис. 1 — Зависимость боковой силы от угла увода для шоссейной шины.

 На этом графике важно отметить, насколько значительно падает сцепление после превышения пикового угла увода. В закритической области потери составляют порядка 10–20%. Следовательно, если вы хотите ехать быстро на шоссейной гоночной шине, пускать машину в занос бессмысленно - сцепления там попросту нет.

 Когда же речь заходит о грунте и льду, поведение шин - это совершенно другая история. В ходе изучения литературы я наткнулся на две превосходные диссертации. Первая - работа Майкла Крофта-Уайта «Измерение и анализ динамики раллийного автомобиля при больших углах отклонения», вторая - диссертация «Динамика и управление заносом в автомобилях» за авторством Рами Юсефа Хиндие. Главный вывод обеих работ заключается в том, что на этих поверхностях в закритической области сцепление падает не столь сильно. В частности, в работе Уайта было проведено базовое моделирование шины на основе разработанного им датчика угла скольжения. Результаты представлены на рис. 2.

 

Рис. 2 — Зависимость боковой силы от угла увода для раллийной шины.

 

Ключевой момент - то, что происходит в закритической области. Даже при углах увода, значительно превышающих 20 градусов, сцепление падает всего на 10%. Это важно, поскольку означает, что в закритической области уровень сцепление по-прежнему остаётся довольно высоким.

 Причина, по которой сцепление сохраняется в закритической зоне, кроется в поведении продольных сил шины при больших углах увода. Это показано на рис. 3, а также в уравнениях движения автомобиля.

 

Рис. 3 — Схема сил, действующих на гоночный автомобиль.

 

Обозначения на рис. 3:

Fy₁–Fy₄ — боковые силы на шинах 1–4 соответственно.

Fx₁–Fx₄ — продольные силы на шинах 1–4 соответственно.

α₁–α₄ — углы увода шин 1–4 соответственно.

δ — угол поворота передних колёс (для простоты принят одинаковым с обеих сторон).

F_YF — боковая сила на передней оси.

F_YR — боковая сила на задней оси.

Нагрузки на каждую шину приложены вертикально вниз.

 

Все силы от шин действуют вдоль линии угла увода. F_XF и F_XR - сумма всех продольных сил на передней и задней осях соответственно. В продольном направлении это не сыграет большой роли. Но, как мы вскоре увидим, это имеет серьёзные последствия в поперечном направлении, особенно при больших углах увода.

 И ещё одно замечание о допущении малости углов. Строго говоря, оно применимо лишь в пределах примерно ±10°. Однако для практических расчётов этот предел можно расширить примерно до 20°. Поясню, что имею в виду. В радианах 20° - это 0,349. Синус 20° равен 0,342. Косинус 20° равен 0,94. Да, мы немного теряем в точности по продольной составляющей, но значения синуса углов остаются весьма близкими. Соответственно, уравнения, которые мы сейчас представим, по-прежнему работают. Другой вариант - оставить в формулах синусы и косинусы. Это даёт полную точность, но беда в том, что теряется всякое понимание того, о чём говорит математика. К тому же в ралли скольжение с углом более 30° встречается редко. Пусть это и не идеально строгое допущение, но оно вполне разумно и не уводит нас в область откровенного вымысла.

 Также для упрощения мы объединили здесь и боковые силы. Используя допущение малости углов, можно прийти к следующему:

 

 

Согласно выводу, представленному в работе Вонга («Теория наземных транспортных средств» J.Y Wong, Theory of Ground Vehicles, Wiley and sons, 1978), углы увода равны:

 

где:

 V_y — боковая скорость

 V_x — продольная скорость

 r — угловая скорость рыскания

 

С учётом сил и моментов, представленных на Рис. 1, дифференциальные уравнения движения раллийного автомобиля принимают следующий вид:

 

Где:

 m_t – полная масса автомобиля

 I_z – момент инерции автомобиля относительно вертикальной оси

 Уравнения (3) – (9) полностью описывают динамику поведения раллийного автомобиля. Здесь следует обратить особое внимание на продольные силы. Стоит подчеркнуть, что они приложены вдоль линии угла увода шины. В этом месте вы, вероятно, могли бы задаться вопросом: «Ну и что с того?» Однако ключевой момент заключается именно в боковых составляющих этих продольных сил. Мы имеем:

 

Здесь F_YF__FXF представляет собой поперечную силу на передней оси, порождённую продольными силами передних колёс, а F_{YR_FXR} - поперечную силу, вызванную продольными силами на задней оси.

 Самое интересное начинается тогда, когда углы увода возрастают. Проиллюстрируем это численным примером. Рассмотрим типичный полноприводный раллийный автомобиль снаряжённой массой 1300 кг. Некоторые его динамические характеристики приведены ниже. 

Таблица 1. Параметры раллийного автомобиля

 

 

Я отдаю себе отчёт в том, что боковая перегрузка на гравийном покрытии будет ниже, нежели на асфальте, однако на данном этапе условимся считать их одинаковыми. Сейчас мне важно, чтобы вы прочувствовали порядок этих величин.

 Итак, уравновешивая скорости и принимая допущение о равенстве углов увода на передней и задней осях, получаем:

 

Здесь мы имеем:

 F_XT — суммарная приложенная продольная сила (Н);

 ρ — плотность воздуха (кг/м³);

 V — скорость автомобиля (м/с);

 αₚ — пиковый угол увода в радианах;

 mₜ — полная масса автомобиля;

 aᵧ — поперечное ускорение (м/с²).

 

Я осознаю, что это не совсем строго с научной точки зрения, но результат находится в верном диапазоне величин, и я привожу данные выкладки, чтобы вы могли прочувствовать порядок цифр. Обработав численные показатели для режимов движения по асфальту и гравию, получаем результаты, сведённые в Таблицу 2.

 

Таблица 2. Расчётные величины уравновешенных продольных сил для режимов «Асфальт» и «Гравий».

 

Таким образом, в режиме движения по асфальту мы имеем порядка 20,7 кгс поперечной силы, порождённой приложенной продольной силой. В режиме движения по гравию это значение скачкообразно возрастает до 118,7 кгс. И пусть проведённый анализ чрезвычайно упрощён, он наглядно подтверждает известное раллийное наблюдение: на грунтовом покрытии тяговое усилие двигателя вносит весьма существенный вклад в общую силу сцепления в повороте.

 Как же определить, является ли такой сценарий жизнеспособным? Здесь в игру вступает то, что я назову «уравнением осуществимости заноса». Давайте проиллюстрируем эту ситуацию графически. Она представлена на Рис. 4.

 

Рис. 4. Две силы, действующие на шину одновременно в продольном и поперечном направлениях.

 

Как можно видеть из Рис. 4, мы имеем две равные силы, действующие в продольном и поперечном направлениях. Эту силу я обозначу как R(α). Каждая из указанных составляющих будет обладать своими боковыми компонентами. Зададим R(α) таким образом, чтобы:

 

Здесь C(α) представляет собой нормализованную кривую увода, а Fm_OUT и Fm_IN - величины радиусов внешней и внутренней окружностей тягового круга соответственно. Наша цель заключается в том, чтобы найти наилучший компромиссный угол увода, обеспечивающий оптимальное поперечное сцепление. Суммарная поперечная сила будет определяться следующим выражением:

 

Чтобы внести полную ясность: я подчиняю силу R(α) классическому, хорошо известному нам соотношению зависимости силы от угла увода. При этом я по-прежнему удерживаю её в пределах тягового круга, чтобы наши расчёты не ушли в область фантазий.

 Таким образом, оптимальный угол увода будет определён путём дифференцирования уравнения (14) как функции угла увода. Применяя правило дифференцирования произведения, находим, что оптимальный угол увода, обеспечивающий наибольшее поперечное сцепление, будет задаваться следующим выражением:

 

Уравнение (14) и представляет собой уравнение осуществимости заноса. Оно не обязательно укажет вам точный оптимальный угол увода, необходимый для выполнения заноса, но совершенно определённо подскажет, способна ли ваша шина на это в принципе. В качестве наглядного примера рассмотрим Рис. 5а, на котором изображена шина для кольцевых гонок, и Рис. 5б, представляющий раллийную шину. Вычисление уравнения (14) для каждой из этих кривых показывает, что для Рис. 5а оптимальный угол увода составляет 6,2°, а для Рис. 5б - 16,0°.

 Приведу также совет для начинающих: выполняйте эти расчёты численно. Составьте таблицу значений R(α) и последующих производных. Попытка решить эту задачу аналитически сведёт вас с ума. Это первый шаг к пониманию того, стоит ли вообще вкладывать усилия в движение в заносе или нет. 

Рис. 5а Шина для кольцевых гонок (асфальтовая шина).

 

Рис. 5б Раллийная шина (гравийная шина).

 

Итак, после того как мы установили, осуществим ли занос в принципе, нам необходимо точно определить, под каким именно углом его следует выполнять. Помните: мы движемся в заносе по гравию и льду не только ради внешнего эффекта, но прежде всего ради достижения максимального сцепления с покрытием. Ключ к разгадке кроется в распределении поперечного сцепления между передней и задней осями.

 Давайте подкрепим это математически. Несколько упрощая картину, воспользуемся уравнениями движения так называемой «велосипедной» модели для углов увода передней и задней осей. Они представлены в уравнении (15).

Здесь α_F и α_R обозначают углы увода передней и задней осей соответственно. Поперечные силы, действующие на переднюю и заднюю оси с учётом как составляющих от угла увода шины, так и от продольных сил, определяются следующими выражениями:

Здесь:

 C_F(α) - нормализованная кривая зависимости силы от угла увода для передней оси;

C_R(α) - нормализованная кривая зависимости силы от угла увода для задней оси;

Fm1 — радиус круга тяги для левого переднего колеса при заданной нагрузке;

Fm2 — радиус круга тяги для правого переднего колеса при заданной нагрузке;

Fm3 — радиус круга тяги для левого заднего колеса при заданной нагрузке;

Fm4 — радиус круга тяги для правого заднего колеса при заданной нагрузке

 

Самое интересное начинается, когда мы берём производную от уравнения (16) по углу увода. Выполнив дифференцирование, получаем:

  

Для того чтобы занос был оправдан, производные кривых силы для передней и задней осей должны быть строго больше нуля. Именно здесь кроется максимальное сцепление и причина его наличия заключается в том, что с увеличением угла увода вы фактически начинаете генерировать полезное боковое усилие. Это объясняет, почему «спринт-кары» на грязевых треках проходят повороты с занесëнной кормой - именно большой угол заноса обеспечивает максимум сцепления.

 Если ваш автомобиль заднеприводный, то применимо последнее слагаемое уравнения (17). Если переднеприводный - работает первое слагаемое. В случае полного привода в игру вступают оба. Применительно к ралли, уравнение (17) наглядно раскрывает все преимущества полноприводной трансмиссии.

 Итак, какова же процедура определения угла увода, необходимого для удовлетворения уравнению (17)? Прежде всего, вы начинаете с выбора скорости в повороте и оцениваете пиковую кривизну траектории, по которой хотите двигаться. Затем вы задаёте коэффициент поперечного сцеплению, который желаете поддерживать на задней оси. Суть заключается в стремлении удержать равновесие как в поперечном, так и в продольном направлениях. Сохраняя углы увода передней и задней осей одинаковыми, получаем следующее:

 

Здесь tspR обозначает долю крутящего момента, передаваемого на заднюю ось, а FXFR — коэффициент продольной силы на задней оси, которую мы хотим задействовать для создания поперечного сцепления. Подстановка уравнения (19) в уравнение (18) даёт следующее соотношение для искомого угла увода задней оси:

  

Решение уравнения (20) даст вам контрольную точку отсчёта. Далее вам предстоит пройти через итерационный процесс, чтобы понять, имеет ли полученный результат физический смысл. В частности, необходимо проверить, достижим ли он в рамках имеющихся у вас кривых угла увода шин. Также необходимо проанализировать перераспределение нагрузки, чтобы убедиться в наличии достаточного сцепления. Ограничивающим фактором здесь выступит нагрузка на внутреннее заднее колесо. Затем вы обратитесь к проверке по уравнению (17), и если все условия сойдутся, это будет означать, что система находится в равновесии. Когда все проверки будут пройдены, вы определите искомый угол увода задней оси и угол бокового скольжения, при котором следует выполнять занос.

 О чём в конечном счёте говорят все эти уравнения? О том, что движение в заносе как способ повышения сцепления автомобиля жизнеспособно только в условиях низкого коэффициента сцепления с дорогой. Давайте вновь обратимся к уравнению (17), но на этот раз посмотрим на него сквозь призму перераспределения нагрузки. В качестве грубого эмпирического правила, нагрузки на шины для заданных аэродинамической прижимной силы и динамического перераспределения веса определяются следующим образом:

 

В ситуациях, когда прижимная сила не играет значительной роли, ограничивающим фактором станет разгрузка внутренних переднего и заднего колёс. Как следствие, ваша способность прикладывать продольные силы, необходимые для выполнения условия уравнения (17) (то есть чтобы оно было больше или равно нулю), окажется ограниченной. Формально, можно было бы направить всю продольную силу на внешнее заднее колесо, но это породит дестабилизирующий момент: тяговое усилие начнёт разворачивать автомобиль, стремясь нарушить его устойчивость.

 Последняя тема, которой мы коснёмся, - это вопрос о том, как выглядит устойчивость раллийного автомобиля в запредельной, закритической зоне заноса. Как уже отмечалось в нескольких моих предыдущих публикациях, великолепным инструментом для анализа этого служит индекс устойчивости. Его можно записать в следующем виде:

 

 

Исследуя уравнение (17) и подставляя его в уравнение (22), мы обнаружим, что некоторая мера устойчивости всё же сохраняется, однако она будет значительно более маргинальной. Причина этого кроется в том, что наклон кривых зависимости силы от угла увода становится существенно меньше. Главенствующую роль начинают играть приложенные продольные силы. Совместный анализ уравнений (17) и (22) приводит к однозначному выводу: если вы скользите в заносе на заднеприводном автомобиле, у вас нет иного выбора, кроме как продолжать удерживать нажатой педаль газа. Этот вывод был также независимо подтверждён в работе Хиндийе (2), где разработанный им контроллер использует тяговое усилие двигателя как неотъемлемую составную часть управления заносом.

 Наконец, дабы показать, что всё это не пустая теория, основы изложенных подходов были внедрены в программный комплекс «ChassisSim». В качестве примера ниже приведён результат предиктивного моделирования раллийного спецучастка, выполненного в реальном времени, с управлением автомобилем в закритической зоне работы шины.

 

Рис. 6: Предиктивное раллийное моделирование в «ChassisSim», демонстрирующее управление автомобилем в закритической зоне работы шины.

 

Первая кривая - это скорость, вторая - угол поворота руля, третья - положение дроссельной заслонки. Однако подлинный интерес представляют четвёртая и пятая кривые, отображающие углы увода передней и задней осей соответственно. Критический угол срыва для данной шины составляет 6°. Углы увода передней оси лежат в диапазоне 4–5°. В то же время можно наблюдать, что углы увода задней оси достигают значений порядка 10°, и при этом они остаются подконтрольными. Следует добавить, что модель автомобиля всё ещё требует доработки, и определённый объём работы ещё предстоит выполнить, но, как бы то ни было, данная функциональная возможность уже на пороге полноценной реализации.

 В заключение следует отметить, что динамика транспортных средств в условиях заноса представляет собой исключительно интересную область автомобильной физики. Главенствующим фактором, определяющим целесообразность движения в заносе, является специфика поведения шин на грунте и на льду. На этих покрытиях кривые зависимости силы от угла увода демонстрируют относительно умеренное падение в закритической зоне. Это обстоятельство делает занос жизнеспособным приёмом, позволяя нам с достаточной точностью рассчитать необходимые для этого параметры. Разумеется, я далёк от мысли считать сказанное здесь последним словом в динамике раллийных автомобилей, но я надеюсь, что предоставил в ваше распоряжение математический аппарат, позволяющий выразить всё это в конкретных цифрах.